पाठ – 2

बहुपद

In this post we have given the detailed notes of class 10 Math chapter 2 Polynomials in Hindi. These notes are useful for the students who are going to appear in class 10 board exams.

इस पोस्ट में कक्षा 10 के गणित के पाठ 2 बहुपद  के नोट्स दिये गए है। यह उन सभी विद्यार्थियों के लिए आवश्यक है जो इस वर्ष कक्षा 10 में है एवं गणित विषय पढ़ रहे है।

पाठ 2 बहुपद

बहुपद क्या है?

चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय व्यंजक को बहुपद कहा जाता हैं।

उदाहरण

x² + 2x + 1, एक बहुपद बीजगणितीय व्यंजक है।

• 2x⁵ + 4xy³ + 6x²
• 4y³+ y² + yz
• 3x + x² – x⁴
• 5x⁶y + 6px²yx² – 8ax

घात n वाले एक चर x वाले बहुपद को निम्न रूप में व्यक्त किया जाता हैं।

P(x) = anxⁿ + an-1 xⁿ⁻¹ +…………+ a₁x + a₀

जहाँ an ≠ 0 और an, a n -1, a₁, a₀ = अचर

बहुपद का घात

पदों के घातों में से महत्तम को बहुपद का घात (डिग्री) कहते हैं। यदि एक से अधिक चर राशियाँ हों, तो विभिन्न पदों में चर राशियों के घातों के योगफलों में से महत्तम को बहुपद का घात कहते हैं।

उदाहरण

2y² – 3y + 4, बहुपद बीजगणितीय व्यंजक में चर y की अधिकतम घात 2 है इसलिए बहुपद का घात 2 है।

रैखिक बहुपद

घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, 2x – 3, √3 x + 5, y + √2 आदि।

द्विघात बहुपद

घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। द्विघात शब्द क्वाडरेट शब्द से बना है, जिसका अर्थ है ‘वर्ग’।

उदाहरण के लिए 2x² + 3x – 2/5, y² – 2 आदि।

अधिक व्यापक रूप में, x में कोई द्विघात बहुपद ax² + bx + c, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याये हैं और a ≠ 0 है, के प्रकार का होता है।

त्रिघात बहुपद

घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है। त्रिघात बहुपद के कुछ उदाहरण निम्न हैंः

2 – x³, x³, x³ – x² + 3 आदि

वास्तव में, त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप हैः ax³ + bx² + cx + d, जहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याये हैं और a ≠ 0 है।

बीजीय बहुपद (Algebraic Polynomial)

चर एवं अचर बहुपद को शामिल करने से जो पद प्राप्त होता हैं उसे बीजीय बहुपद कहा जाता हैं।

जैसे :-

• x + 2
• x + 6
• y − 4
• 64 + a

बीजीय बहुपद दो प्रकार के होते हैं।

1. अचर बहुपद

बहुपद का ऐसा पद जिसका मान हमेशा स्थिर रहता हैं वह अचर बहुपद कहलाता हैं।

जैसे :-

• 4x + 5,
• 2x – 2,
• 8y – 5,
• 2 और 5 अचर बहुपद है क्योंकि इनका मान सदैव स्थिर रहता हैं।

Note :-

• अचर बहुपद वास्तविक या काल्पनिक दोनों संख्या हो सकते हैं।
• अचर बहुपद का घात शून्य होता हैं।

2. चर बहुपद

बहुपद का ऐसा पद जिसका मान हमेशा बदलता रहता हैं वह चर बहुपद कहलाता हैं।

जैसे :-

• x² + 4x + 2
• 2x² + 4x + 8

Note :-

• चर बहुपद कभी भी काल्पनिक नही होता हैं।

बहुपद का शून्यक

एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि P(k) = 0 है।

व्यापक रूप में यदि p(x) = ax + b का एक शून्यक k है तो p(k) = ak + b = 0, अर्थात k = – b/a होगा। अतः रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक – b/a = – (आचार पद)/ x का गुणांक है।

महत्वपूर्ण तथ्य

• घातों 1, 2 और 3 के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद एवं त्रिघात बहुपद कहलाते हैं।
• एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है, के रूप का होता है।
• एक बहुपद p(x) के शून्यक उन बिदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध को एक उदाहरण के माध्यम से समझने की कोशिश करते हैं।

इसके लिए एक द्विघात बहुपद माना p(x) = 2x² – 8x + 6 लीजिए। यहाँ हमें मध्य पद “- 8x” को दो ऐसे पदों के योग के रूप में विभक्त करना है जिनका गुणनफल 6x × 2x = 12x² हो।

अतः, हम इसको लिख सकते हैंः

2x² – 8x + 6 = 2x² – 2x – 6x + 6

= 2x (x – 1) – 6 (x – 1) = (x – 1) (x – 3)

= 2 (x – 1) (x – 3)

इसलिए, p(x) = 2x² – 8x + 6 का मान x = 1 और x = 3 के लिए शून्य होगा।

अतः कह सकते हैं कि द्विघात बहुपद p(x) = 2x² – 8x + 6 के शून्यंक 1 और 3 हैं।

शून्यंकों का योग

= 1 + 3 = 4 = – (-8)/2

= – (x का गुणांक)/(x² का गुणांक)

शून्यंकों का गुणनफल

शून्यंकों का गुणनफल = 1 × 3 = 3 = 6/2 = (अचर पद)/(x² का गुणांक)

व्यापक रूप में यदि α, β द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 के शून्यक हों तो इसके अनुसार x – α और x – β, p(x) के गुणनखण्ड होंगे।

अतः ax² + bx + c = k (x – α)(x – β), जहाँ k अचर है।

= k [x² – (α + β) x + αβ]

= kx² – k (α + β) x + kαβ

दोनों ओर के x², x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

a = k, b = – k (α + β) और c = k αβ

इससे प्राप्त होता है α + β = – b/a

और αβ = c/a

अर्थात शून्यको का योग α + β = – b/a = – (x का गुणांक)/ (x² का गुणांक)

शून्यंकों का गुणनफल αβ = c/a = (अचर पद)/(x² का गुणांक)

शून्यको के योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद ज्ञात करना

इस विधि को एक उदाहरण के माध्यम से समझते हैं:

उदाहरण

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः –3 और 2 हैं।

हल:

माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α, β हैं।

हम पाते हैं α + β = – b/a = – 3

αβ = c/a = 2

यदि a = 1 है तो b = 3 और c = 2 होगा।

अतः, एक द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती हैं, x² + 3x + 2 है।

• एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं और एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं।
• यदि α, β द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 के शून्यक हों तो

α + β = – b/a

और αβ = c/a

बहुपदों का जोड़

जब हम दो या दो से अधिक बहुपदो को जोड़ते हैं तो केवल समान पद जोड़े जाते हैं इसका अर्थ है कि समान चर और समान घात वाले पद जोड़े जाते हैं। असमान पदों को नहीं जोड़ा जाएगा, वो अपरिवर्तित रहेंगे। जोड़ में, परिणामी बहुपद की घात समान रहती हैं।

Q.1 बहुपद 5x² + 4x + 2 और 8x² + 2x + 5 को जोड़िए?

हल:- 5x² + 4x + 2 + 8x² + 2x + 5

(5x² + 8x²) + (4x + 2x) + (2 + 5)

13x² + 6x + 7

Ans. 13x² + 6x + 7

Q.2 बहुपद 3a² + 5ab + 2 और 7a² + 6 + 9ab को जोड़िए?

हल:- 3a² + 5ab + 2 + 7a² + 6 + 9ab

(3a² + 7a²) + (5ab + 9ab) + (2 + 6)

10a² + 14ab + 8

Ans. 10a² + 14ab + 8

Q.3 बहुपद 3ab³ + 6xy⁴ + 4x² और 8x² + 12ab³ + 2xy⁴ को जोड़िए?

हल:- 3ab³ + 6xy⁴ + 4x² + 8x² + 12ab³ + 2xy⁴

(6xy⁴ + 2xy⁴) + (3ab³+ 12ab³) + (4x² + 8x²)

8xy⁴ + 15ab³ + 12x²

Ans. 8xy⁴ + 15ab³ + 12x²

Q.4 बहुपदो 4x² + 8xy + 5y² और 8y² – 3xy + 3x² को जोड़िए

हल:- 4x² + 8xy + 5y² + 8y² – 3xy + 3x²

(4x² + 3x²) + (8xy – 3xy) + (6y² + 8y²)

7x² + 5xy + 14y²

Ans. 7x² + 5xy + 14y²

बहुपदो का घटाना

बहुपदों का घटाव बहुपदों के योग के समान ही होता है। इसमें समान पदों को घटाया जाता है और असमान पदों में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसमें भी परिणामी बहुपद की घात वही रहेगी।

Q.1 बहुपद 5xy + 8xy² + 6x²y + 8y³ को 3xy + 2xy² + x²y + 2Y³ में से घटाएं।

हल:- (5xy + 8xy² + 6x²y + 8y³) – (3xy² + 2xy² + x²y + 2Y³)

(8y³ − 2Y³) + (6x²y − x²y) + (8xy² − 2xy²) + (5xy − 3xy)

5y³ + 5x²y + 6xy² + 2xy

Ans. 5y³ + 5x²y + 6xy² + 2xy

बहुपदों का गुणा

जब दो या दो से अधिक बहुपदों को गुणा किया जाता है तो परिणाम हमेशा उच्च घात वाला बहुपद होता है। लेकिन दो बहुपदों में, यदि एक या दोनों बहुपद अचर बहुपद हों तो घात वही रहेगी। बहुपदों के गुणा में, समान चरों की घातो को घातांक के नियमों द्वारा जोड़ा जाता है।

Q.1 बहुपद 2x ⨯ 4y का गुणा कीजिए?

हल:-2x ⨯ 4y

= (2 ⨯ 4) ⨯ (x ⨯ y)

= 8xy

Ans. 8xy

Q.2 बहुपद 5a ⨯ 8b का गुणा कीजिए?

हल:- 5a ⨯ 8b

= (5 ⨯ 8) ⨯ (a ⨯ b)

= 40ab

Ans. 40ab

Q.3 बहुपद 7t ⨯ 2s ⨯ 3r का गुणा कीजिए?

हल:- 5a ⨯ 2b ⨯ 7c

= (5 ⨯ 2 ⨯ 7)⨯(a ⨯ b ⨯ c)

= 70 abc

Ans. 70 abc

Q.4 बहुपद 3p²q² ⨯ 12p³q³ का गुणा कीजिए?

हल:- 3p²q² ⨯ 12p³q³

(3 ⨯ 12) ⨯ (p² ⨯ p³ ⨯ q² ⨯ q³)

= 36 p⁵q⁵

Ans. 36 p⁵q⁵

बहुपदों का भाग

बहुपद के विभाजन में, परिणाम कम घात वाला बहुपद होता है और यदि बहुपदों में से एक अचर बहुपद है तो घात वही रहेगी।

Q.1 बहुपद 6a² ÷ 3a से भाग कीजिए?

हल:- 6a² ÷ 3a

3 ⨯ 2 ⨯ a ⨯ a/3 ⨯ a

2a

Ans. 2a

Q.2 बहुपद (2xy + 6x) ÷ 2x से भाग दीजिए?

हल:- (2xy + 6x) ÷ 2x

= (2xy + 6x)/2x

= 2x(y + 3)/2x

= y + 3

Ans. y + 3

त्रिघात बहुपद के शून्यक

यदि किसी त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि

α + β + γ = – b/a

αβ + βγ + γα = c/a

और αβγ = – d/a

त्रिघात बहुपद का उदाहरण

जांच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3, के शून्यक 3,-1 और -1/3 हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

उदाहरण का हल

दिए हुए बहुपद कि तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर हम पाते हैं कि

a = 3, b = – 5, c = –11, d = – 3

एक-एक करके शून्यकों के मान रखने पर

p (3) = 3 × 3³ – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3 = 81 – 45 – 33 – 3 = 0

p (–1) = 3 × (–1) ³ – 5 × (–1) ² – 11 × (–1) – 3 = –3 – 5 + 11 – 3 = 0

p (–1/3) = 3 × (–1/3) ³ – 5 × (–1/3) ² – 11 × (–1/3) – 3 = – 1/9 + 5/9 + 11/3 – 3 = – 2/3 + 2/3 = 0

अतः 3x³ – 5x² – 11x – 3 के शून्यक 3,-1 और -1/3 हैं।

इसलिए हम α = 3, β = -1 और γ = -1/3 लेते हैं अब

α + β + γ = 3 + (-1) + (-1/3) = 2 – 1/3 = 5/3 = – b/a

αβ + βγ + γα = 3 × (-1) + (-1) × (-1/3) + (-1/3) × 3 = -3 + 1/3 – 1 = -4 + 1/3 = – 11/3 = c/a

और αβγ = 3 × (-1) × (-1/3) = 1 = – (-3)/3 = – d/a है।

स्मरणीय तथ्य

यदि α, β, γ त्रिघात बहुपद p(x) = ax³ + bx² + cx + d के शून्यक हों तो

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

आप जानते हैं कि एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं। परंतु, यदि आपको केवल एक शून्यक दिया हो, तो क्या आप अन्य दो शून्यक ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, त्रिघात बहुपद x³ – 3x² – x + 3 को लेते हैं। माना इसका एक शून्यक 1 है तो x³ – 3x² – x + 3 का एक गुणनखंड x – 1 है। इसलिए x³ – 3x² – x + 3 को x – 1 से भाग देकर x² – 2x – 3 प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्राप्त द्विघात बहुपद के गुणनखंड करने के लिए मध्य भाग को विभक्त करके किया जा सकता है।

x² – 2x – 3 = x² – 3x + x – 3

= x (x – 3) + 1 (x – 3) = (x – 3) (x + 1)

इसलिए, त्रिघात बहुपद के सभी शून्यक 1, -1 और 3 हैं।

बहुपद को भाग देने की एल्गोरिथ्म (कलन विधि)

एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने के एल्गोरिथ्म (कलन विधि) के विधिवत चरण निम्न प्रकार से हैं। इसको समझाने के लिए एक उदाहरण पर विचार करते हैं।

यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g(x) ≠ 0 हो तो हम बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

यह निष्कर्ष बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।

उदाहरण

2x² + 3x + 1 को x + 2 से भाग दीजिये।

हल:

ध्यान दीजिए कि जब शेषफल या तो शून्य हो जाए या इसकी घात भाजक की घात से कम हो जाए, तो हम भाग देने की प्रक्रिया को रोक देते हैं।

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

2x² + 3x + 1 = (x + 2) × (2x – 1) + 3

याद रखने योग्य बातें

• यह प्रक्रिया किसी बहुपद को एक द्विघात बहुपद से भाग देने के लिए भी भी प्रयोग में लाई जा सकती है।
• विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार दिए गए बहुपद p(x) और शून्येतर बहुपद g(x) के लिए दो ऐसे बहुपदों q(x) तथा r(x) का अस्तित्व है कि

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

जहाँ, r(x) = 0 है या घात r(x) < घात g(x) है।

We hope that class 10 Math Chapter 2 बहुपद (Polynomials) Notes in Hindi helped you. If you have any queries about class 10 Math Chapter 2 बहुपद (Polynomials) Notes in Hindi or about any other Notes of class 10 Math in Hindi, so you can comment below. We will reach you as soon as possible…